Fourier Analysis of Modified Nested Factorization Preconditioner for Three-Dimensional Isotropic Problems

For solving large sparse symmetric linear systems, arising from the discretization of elliptic problems, the preferred choice is the preconditioned conjugate gradient method. The convergence rate of this method mainly depends on the condition number of the preconditioner chosen. Using Fourier analysis the condition number estimate of common preconditioning techniques for two dimensional elliptic problem has been studied by Chan and Elman [SIAM Rev., 31 (1989), pp. 20-49]. Nested Factorization(NF) is one of the powerful preconditioners for systems arising from discretization of elliptic or hyperbolic partial differential equations. The observed convergence behavior of NF is better compared to well known ILU(0) or modified ILU. In this paper we introduce Modified Nested Factorization(MNF) which is an improvement over NF. It is proved that condition number of modified NF is O(h−1). An optimal value of the parameter for the model problem is derived. The condition number of modified NF predicts the condition number of NF in limiting sense when the parameter is close to zero. Moreover it is proved that condition number of NF is atleast O(h−1). Numerical results justify Fourier analytic method by exhibiting remarkable similarity in spectrum of periodic and Dirichlet problems. Key-words: Nested Factorization, eigenvalues, eigenvectors, sparse LU, modified sparse LU, circulant matrices ∗ INRIA Saclay Ile de France, Laboratoire de Recherche en Informatique Universite Paris-Sud 11, France (Email:[email protected]) † INRIA Saclay Ile de France, Laboratoire de Recherche en Informatique Universite Paris-Sud 11, France (Email:[email protected]) ‡ School of Mathematical Sciences, Xiamen University, Xiamen, 361005, P.R. China; The work of this author was performed during his visit to INRIA, funded by China Scholarship Council; Email:[email protected] § Laboratoire J. L. Lions, CNRS UMR7598, Universite Paris 6, France; Email: [email protected] in ria -0 04 48 29 1, v er si on 1 18 J an 2 01 0 Analyse de Fourier des preconditioneurs du type factorisation emboite modifie pour les problemes isotropique en 3D Résumé : Pour resondre des grands systemes linéaire d’quation symétrique obtenu de la discrétisation d’une equation aux dérivés partielles elliptique, on choisit le plus souvent la mthode du gradient conjugué prconditionné. La convergence de cette method depend le plus souvent du conditionnement du systeme ainsi preconditionné. L’analyse de Fourier est une technique utilisée par Chan et Elman pour estimer le conditionnement de ce system préconditionné pour les problémes 2D. La factorisation emboitée est un preconditionneur puissant pour les systémes d’equation obtenu de la discretisation d’une EDP elliptique ou hyperbolique. Les observations de la convergence de la factorisation emboite montrent qu’il se comporte mieux que ILU(0) ou ILU modifié. Dans ce papier on introduit la factorisation emboitée qui est une amlioration de la factorisation emboite. Il est prouv que le conditionnement de la factorisation emboite est de O(h−1) Les valeurs optimales des paramétres est obtenues. Le conditionnement de la factorisation emboitée modifie permet de prédire celui de la factorisation emboitée lorsque les paramétres sont prés de zéro. De plus nous prouvons que le conditionnement du NF est au moins de O(h−1). Les résultats numérique justifie les resultats de l’analyse de Fourier en exhibant avec des conditions remarquable sur des problems avec des conditions aux limites de Dirichlet et les conditions aux limites périodiques. Mots-clés : factorization emboitée, valeurs propres, vecteurs propres, LU creux, LU creux modifie, matrice circulaire in ria -0 04 48 29 1, v er si on 1 18 J an 2 01 0 Fourier Analysis of MNF 3